लिखा: निखिल वर्मा
जाँच: राजीव साठेएक्सपेक्टेड वैल्यू वह औसत है जो कोई दांव तब देता, अगर आप उसे अनगिनत बार दोहरा पाते। यह जीतने की संभावना गुणा मुनाफ़ा, घटा हारने की संभावना गुणा दांव के बराबर होती है। सच में 50-50 वाले नतीजे पर 1.90 के भाव पर ₹1,000 के दांव की एक्सपेक्टेड वैल्यू माइनस ₹50 है, यानी दांव का माइनस 5%।
यह पेज फ़ॉर्मूला, चार पूरे हिसाब, यह वजह कि फ़ीस जवाब को डिज़ाइन से ही ऋणात्मक बना देती है, और लॉ ऑफ़ लार्ज नंबर्स तथा हारा हुआ पैसा वापस जीतने की चाह की सीधी व्याख्या देता है।
एक सीधे वाक्य में एक्सपेक्टेड वैल्यू
एक्सपेक्टेड वैल्यू किसी दांव का औसत नतीजा है, अगर आप उसे बार-बार लगा पाते। सांख्यिकी वाले इसे अपेक्षा या माध्य कहते हैं, और यह नतीजों का भारित औसत है जिसमें भार उनकी संभावनाएँ होती हैं (expected value पर Wikipedia)।
एक दांव में दो नतीजे होते हैं। या तो आप मुनाफ़ा जीतते हैं, या दांव गँवाते हैं। हर एक को उसकी संभावना से भारित कीजिए, जोड़िए, और आपके पास एक्सपेक्टेड वैल्यू है।
यह संख्या किसी एक दांव की भविष्यवाणी नहीं है। एक दांव आपको जीत या हार देता है, औसत कभी नहीं। औसत कई बार दोहराने पर सामने आता है, और यही लॉ ऑफ़ लार्ज नंबर्स बताता है (law of large numbers पर Wikipedia)।
हिसाब से पहले एक कानूनी बात। असली पैसे वाला ऑनलाइन गेमिंग भारत में PROG Act 2025 के तहत बंद है, जो 1 मई 2026 से लागू है, और इसमें विदेशी ऐप भी शामिल हैं (Nishith Desai)। हम गणित सिखा रहे हैं, पहुँच नहीं दे रहे।
फ़ॉर्मूला, पूरा लिखा हुआ
यही रूप इस्तेमाल कीजिए, और कुछ नहीं चाहिए।
एक्सपेक्टेड वैल्यू = (जीतने की संभावना × जीतने पर मुनाफ़ा) − (हारने की संभावना × दांव)।
दो इनपुट, दोनों आसान। जीतने पर मुनाफ़ा = दांव × (डेसिमल ऑड्स − 1), जिसे हमारा ऑड्स पढ़ने वाला पेज कवर करता है। जीतने की संभावना आपका अपना अनुमान है, भाव नहीं।
दूसरी बात ही पूरा खेल है। अगर आप भाव को ही अपनी संभावना मान लेंगे, तो जवाब हर बार लगभग फ़ीस जितना ही आएगा। आपको अपनी अलग राय लानी होगी।
उदाहरण एक: आम दांव
इनपुट। दांव ₹1,000। भाव 1.90। आपकी ईमानदार राय: मैच 50-50 है।
फ़ॉर्मूला। जीतने पर मुनाफ़ा = 1,000 × (1.90 − 1) = ₹900। EV = (0.50 × 900) − (0.50 × 1,000)।
नतीजा। EV = 450 − 500 = −₹50। यह दांव का −5.00% है।
मान्यताएँ। 50% आपका अनुमान है और वह गलत भी हो सकता है। भाव वही है जो आपको सच में मिला। टैक्स इसमें शामिल नहीं है, और टैक्स आँकड़े को और बुरा करता है। यहाँ किसी ऑपरेटर की कोई माप नहीं है।
नतीजे को ध्यान से पढ़िए। 1.90 पर एक ईमानदार सिक्का आपको औसतन हर हज़ार पर पचास रुपये का नुकसान देता है। दांव बदकिस्मत नहीं है। उसका भाव ही हारने के लिए तय है।
उदाहरण दो: जब EV शून्य हो जाती है
इनपुट। दांव ₹1,000। आपकी राय: नतीजा 40% बार होता है। भाव 2.50।
फ़ॉर्मूला। जीतने पर मुनाफ़ा = 1,000 × 1.50 = ₹1,500। EV = (0.40 × 1,500) − (0.60 × 1,000)।
नतीजा। EV = 600 − 600 = ₹0। दांव औसतन बराबरी पर छूटता है।
मान्यताएँ। 40% संभावना के लिए 2.50 ही सही भाव है, क्योंकि 1 ÷ 0.40 = 2.50। बराबरी वह ऊपरी सीमा है जो बिना फ़ीस वाला बाज़ार देता है, मुनाफ़ा नहीं।
अब भाव थोड़ा घटाइए, जैसा असली बाज़ार करता है।
इनपुट। वही 40% वाली राय। वही ₹1,000 का दांव। भाव घटकर 2.35।
फ़ॉर्मूला। जीतने पर मुनाफ़ा = 1,000 × 1.35 = ₹1,350। EV = (0.40 × 1,350) − (0.60 × 1,000)।
नतीजा। EV = 540 − 600 = −₹60, यानी दांव का −6.00%।
मान्यताएँ। 2.50 से 2.35 तक की कटौती ही बेचने वाले की फ़ीस है, दिखती हुई शक्ल में। संभावना के बारे में आप सही थे, फिर भी वैल्यू गँवा बैठे।
यही इस पेज का सबक है। सही होना काफ़ी नहीं। आपको फ़ीस से भी ज़्यादा के अंतर से सही होना पड़ता है।
टेबल राय और भाव के कई मेल एक साथ रखती है। सबमें दांव ₹1,000 का है, और हर पंक्ति ऊपर वाले फ़ॉर्मूले से निकाली गई है।
टेबल 1. अलग-अलग भावों और अलग-अलग ईमानदार अनुमानों पर ₹1,000 के दांव की एक्सपेक्टेड वैल्यू
आपका अनुमान | लिया गया भाव | जीतने पर मुनाफ़ा | एक्सपेक्टेड वैल्यू | दांव का हिस्सा |
|---|---|---|---|---|
50% | 1.80 | ₹800 | −₹100 | −10.00% |
50% | 1.90 | ₹900 | −₹50 | −5.00% |
50% | 2.00 | ₹1,000 | ₹0 | 0.00% |
50% | 2.10 | ₹1,100 | +₹50 | +5.00% |
40% | 2.35 | ₹1,350 | −₹60 | −6.00% |
40% | 2.50 | ₹1,500 | ₹0 | 0.00% |
40% | 2.60 | ₹1,600 | +₹40 | +4.00% |
60% | 1.80 | ₹800 | +₹80 | +8.00% |
धनात्मक पंक्तियों को देखिए। हर एक में आपके अनुमान को भाव से साफ़ अंतर से आगे निकलना पड़ता है। उनमें से दो में तो आपको 60% या 40% वाली उस संभावना पर सही होना पड़ता है जिसका भाव बाज़ार ने गलत लगाया हो।
गणित डिज़ाइन से ही ऋणात्मक क्यों रहता है
बाज़ार के भाव मिलकर 100% से ज़्यादा बनते हैं। 1.90 पर दोनों पक्ष 52.63% दर्शाते हैं, यानी बुक 105.26% है और 5.26% की अतिरिक्त राशि बेचने वाले की फ़ीस है, ओवरराउंड (Whelan, Estimating Expected Loss Rates in Betting Markets)।
उस फ़ीस को EV के फ़ॉर्मूले में डालिए और वह माइनस के चिह्न के रूप में सामने आती है। दांव पर अपेक्षित भुगतान 1 बटा बुक होता है, जो तब भी 1 से कम रहता है जब बुक 100% से ऊपर हो (Whelan)।
इनपुट। ऐसा बाज़ार जहाँ भाव बिल्कुल सही है। भाव 1.90, असली संभावना दर्शाए गए 52.63% के बराबर। दांव ₹1,000।
फ़ॉर्मूला। EV = (0.5263 × 900) − (0.4737 × 1,000)।
नतीजा। EV = 473.67 − 473.70, जो राउंडिंग के भीतर शून्य है।
मान्यताएँ। भाव वाला दांव शून्य तक सिर्फ़ इसी तरह पहुँचता है: आपकी राय भाव से बिल्कुल मेल खानी चाहिए। चूँकि बुक कुल 105.26% होते हुए दोनों पक्षों का भाव उनकी असली संभावना पर नहीं हो सकता, इसलिए कम से कम एक पक्ष ऋणात्मक होगा ही, और व्यवहार में आमतौर पर दोनों होते हैं।
यानी धनात्मक EV वाले दांव के लिए दो में से एक चीज़ चाहिए। या तो बेचने वाले से भाव में गलती, या बाज़ार से बेहतर जानकारी। शौकिया सट्टेबाज़ के पास इनमें से कोई नहीं होता, और पैसा आते ही भाव सुधर जाते हैं।
अलग-अलग बाज़ारों में फ़ीस का रुपयों में पैमाना हमारे ओवरराउंड पेज पर है। भाव कहाँ से आते हैं, यह हमारे ऑड्स कैसे तय होते हैं वाले पेज पर है।
सौ दांव कैसे दिखते हैं
अकेला −₹50 वाला दांव कुछ भी नहीं लगता। उसे दोहराइए और गणित ज़ोर से बोलने लगता है।
इनपुट। 100 दांव। हर एक ₹1,000 का। हर दांव पर EV −₹50।
फ़ॉर्मूला। कुल टर्नओवर = 100 × 1,000। कुल EV = 100 × (−50)।
नतीजा। टर्नओवर ₹100,000। अपेक्षित नुकसान ₹5,000, जो लगाए गए कुल पैसे का 5% है।
मान्यताएँ। हर दांव पर वही फ़ीस मानी गई है, जो आशावादी है: छोटे बाज़ार ज़्यादा महँगे पड़ते हैं। असली दौर में नतीजे इस रेखा के ऊपर-नीचे झूलते हैं। रेखा खुद नहीं हिलती।
अब नया पैसा जोड़ने की जगह वही बैलेंस दोबारा घुमाइए। हर चक्कर पर वही प्रतिशत छिलता है।
इनपुट। बैंकरोल ₹10,000। हर दांव पर फ़ीस 5.26%। हर बार पूरा बैलेंस दांव पर।
फ़ॉर्मूला। बचा हुआ बैलेंस = 10,000 × (1 − 0.0526) की घात दांवों की संख्या।
नतीजा। 10 दांव के बाद ₹5,826। 20 दांव के बाद ₹3,394। 50 दांव के बाद ₹671।
मान्यताएँ। यह सिर्फ़ औसत रास्ता है। इसमें टैक्स शामिल नहीं, जो जीत पर धारा 115BBJ के तहत सीधे 30% लगता है (आयकर विभाग), और नुकसान का कोई समायोजन नहीं मिलता (आयकर विभाग)।
इन-प्ले सट्टेबाज़ के लिए पचास दांव एक व्यस्त शाम भर की बात है। हमारा फ़ैंसी बेट्स वाला पेज दिखाता है कि यह गिनती कितनी जल्दी पूरी हो जाती है।
लॉ ऑफ़ लार्ज नंबर्स, सीधे शब्दों में
सिक्का दस बार उछालिए और सात बार हेड आ सकता है। उसे दस हज़ार बार उछालिए और हेड का हिस्सा आधे के बहुत पास बैठ जाता है।
यही लॉ ऑफ़ लार्ज नंबर्स है। कई स्वतंत्र दोहरावों का औसत असली एक्सपेक्टेड वैल्यू की ओर बढ़ता है, और गिनती बढ़ने के साथ वह और कसता जाता है (law of large numbers पर Wikipedia)। मानक उदाहरण पासा है: अपेक्षित रोल (1+2+3+4+5+6) ÷ 6 = 3.5 है, और कई रोल का औसत 3.5 के पास पहुँचता है (Wikipedia)।
इसे सट्टे पर लगाइए और खबर सट्टेबाज़ के लिए बुरी है। यह नियम यह वादा नहीं करता कि आपकी किस्मत पलटेगी। यह वादा करता है कि औसत जीतेगा, और उस औसत के आगे माइनस का चिह्न लगा है।
यहाँ एक दूसरा जाल भी है। छोटे सैंपल पूरे का प्रतिनिधित्व नहीं करते, और उन्हें ऐसा मान लेना एक जानी-पहचानी गलती है (gambler's fallacy पर Wikipedia)। एक अच्छा हफ़्ता आपकी बढ़त के बारे में कुछ साबित नहीं करता।
हारा हुआ वापस जीतने की कोशिश हालत क्यों बिगाड़ती है
हार के बाद मन करता है कि बड़ा दांव लगाकर बराबरी कर ली जाए। गणित इस योजना का कोई साथ नहीं देता।
हर दांव एक नई घटना है, उसी ऋणात्मक एक्सपेक्टेड वैल्यू के साथ। दांव दोगुना करने से अपेक्षित नुकसान भी दोगुना होता है। इससे पिछला नुकसान वापस नहीं खरीदा जाता।
यह मानना कि हार के बाद जीत बनती है, गैंबलर्स फ़ैलेसी है। कोई स्वतंत्र नतीजा इसलिए ज़्यादा संभावित नहीं हो जाता कि वह काफ़ी समय से नहीं आया, और पासे के हर रोल पर संभावना छह में एक ही रहती है (Wikipedia)। एक ही नतीजे की लड़ी आम बात है, और लगातार पाँच हेड की संभावना 32 में 1 यानी 3% से थोड़ी ऊपर है (Wikipedia)।
चिकित्सा शोध में भी चेज़िंग का अपना नाम है। इसका मतलब है हारा हुआ वापस जीतने के लिए खेलते रहना, और इसे समस्यामूलक जुए की मूल पहचान माना जाता है, जो एक ही सत्र के भीतर भी दिखती है और कई दिनों में भी (चेज़िंग व्यवहार की पीयर-रिव्यूड समीक्षा)।
अगर इसमें से कुछ भी जाना-पहचाना लगे, तो आगे पढ़ने के लिए सही पेज हैं हमारा जुए की लत के लक्षण और हमारी भारत में जुए के नुकसान में मदद वाली सूची।
हिसाब खुद कीजिए, चार कदम में
भाव देखने से पहले नतीजे के लिए अपनी संभावना प्रतिशत में लिख लीजिए।
जीतने पर मुनाफ़ा निकालिए: दांव × (भाव − 1)।
दोनों को फ़ॉर्मूले में डालिए और एक्सपेक्टेड वैल्यू रुपयों में निकालिए।
इसे उन दांवों की संख्या से गुणा कीजिए जो आप इस महीने लगाने वाले हैं।
चौथा कदम ही ईमानदार वाला है। वह एक छोटे से ऋणात्मक आँकड़े को उस रकम में बदल देता है जो आप असल में चुकाएँगे।
दो आदतें इस अभ्यास को असली बनाती हैं। भाव देखने से पहले अपनी संभावना लिख लीजिए, ताकि भाव आपको बाँध न सके। और हिसाब में वही दांव इस्तेमाल कीजिए जो आप सच में लगाते हैं, कोई नरम-सा उदाहरण नहीं।
यहाँ इस्तेमाल हुआ हर शब्द हमारी बेटिंग शब्दावली में है। पूरी लाइब्रेरी गाइड हब पर है, और कानूनी तस्वीर हमारे PROG Act एक्सप्लेनर में है।
लोग जो पूछते हैं
क्या आम सट्टेबाज़ के लिए एक्सपेक्टेड वैल्यू कभी धनात्मक हो सकती है?
सिर्फ़ तब, जब भाव गलत हो और आपको वजह पता हो। चूँकि बाज़ार के दोनों पक्ष मिलकर 100% से ज़्यादा बनते हैं, कम से कम एक पक्ष पर ऋणात्मक वैल्यू होगी ही (Whelan), और पैसा आते ही भाव सुधर जाते हैं।
क्या धनात्मक दौर का मतलब है कि मेरा तरीका काम करता है?
क्या मुझे भाव को ही अपनी संभावना मान लेना चाहिए?
नहीं। ऐसा करेंगे तो जवाब बस फ़ीस निकलेगा। पहले अपना अनुमान लिखिए, फिर उसकी तुलना उस संभावना से कीजिए जो भाव दर्शाता है।
क्या दांव बड़ा करने से एक्सपेक्टेड वैल्यू सुधरती है?
नहीं। प्रतिशत वही रहता है और रुपयों में नुकसान दांव के साथ बढ़ता है। दांव दोगुना करने से अपेक्षित नुकसान दोगुना हो जाता है।
एक्सपेक्टेड वैल्यू के हिसाब में टैक्स कहाँ बैठता है?
गणित के बाद, और आपके खिलाफ़। जीत पर धारा 115BBJ के तहत सीधे 30% टैक्स लगता है (आयकर विभाग) और नुकसान का समायोजन नहीं हो सकता (आयकर विभाग)।
