লিখেছেন: নিখিল বর্মা
যাচাই: রাজীব সাথেএকটি বাজি অসংখ্যবার করা গেলে গড়ে যা দাঁড়াত, সেটিই expected value। এটি হল জেতার সম্ভাবনা গুণ লাভ, তা থেকে হারার সম্ভাবনা গুণ স্টেক বাদ। সত্যিকারের 50-50 ফলে 1.90 দামে ₹1,000 বাজির expected value মাইনাস ₹50, অর্থাৎ স্টেকের মাইনাস 5%।
এই পেজে আছে সূত্র, চারটি কষা হিসাব, ফি কীভাবে উত্তরটিকে নকশা করেই ঋণাত্মক বানায় তার কারণ, আর সহজ ভাষায় বড় সংখ্যার সূত্র ও হারা টাকা ফিরে পাওয়ার তাড়নার ব্যাখ্যা।
এক লাইনে expected value
একটি বাজি বারবার করে যেতে পারলে গড়ে যা ফল হত, সেটিই expected value। পরিসংখ্যানবিদরা একে বলেন expectation বা গড়, আর এটি হল ফলগুলির একটি ভারযুক্ত গড়, যেখানে ভার হিসেবে বসে তাদের সম্ভাবনা (expected value নিয়ে Wikipedia)।
একটি বাজিতে ফল দুটি। হয় আপনি লাভ জেতেন, নয় স্টেক হারান। প্রতিটিকে তার সম্ভাবনা দিয়ে ভার দিন, যোগ করুন, expected value হাতে এসে গেল।
সংখ্যাটি একটি বাজির ভবিষ্যদ্বাণী নয়। একটি বাজি আপনাকে জয় বা হার দেয়, কখনও গড় নয়। গড় দেখা দেয় অনেকবার করার পরে, যা বর্ণনা করে বড় সংখ্যার সূত্র (বড় সংখ্যার সূত্র নিয়ে Wikipedia)।
অঙ্কের আগে একটি আইনি কথা। PROG Act 2025-এর অধীনে সত্যিকারের টাকার অনলাইন গেমিং ভারতে নিষিদ্ধ, 1 মে 2026 থেকে কার্যকর, অফশোর অ্যাপ-সহ (Nishith Desai)। আমরা পাটিগণিত শেখাচ্ছি, ঢোকার রাস্তা নয়।
সূত্রটি, লিখে ফেলা
এই রূপটি ব্যবহার করুন, আর কিছুই লাগবে না।
Expected value = (জেতার সম্ভাবনা × জিতলে লাভ) − (হারার সম্ভাবনা × স্টেক)।
ইনপুট দুটি, দুটিই সহজ। জিতলে লাভ = স্টেক × (decimal odds − 1), যা ধরা আছে অডস পড়া নিয়ে আমাদের পেজে। আর জেতার সম্ভাবনা আপনার নিজের আঁচ, দামটি নয়।
দ্বিতীয় কথাটিই গোটা খেলা। দামকেই যদি নিজের সম্ভাবনা ধরে নেন, উত্তর প্রায় প্রতিবারই দাঁড়াবে ফিটার সমান। নিজের একটি মত আপনাকে আনতেই হবে।
হিসাব এক: সাধারণ একটি বাজি
ইনপুট। স্টেক ₹1,000। দাম 1.90। আপনার সৎ মত: ম্যাচটি 50-50।
সূত্র। জিতলে লাভ = 1,000 × (1.90 − 1) = ₹900। EV = (0.50 × 900) − (0.50 × 1,000)।
ফল। EV = 450 − 500 = −₹50। অর্থাৎ স্টেকের −5.00%।
ধারণা। 50% আপনার আঁচ, আর তা ভুলও হতে পারে। দামটি সত্যিই আপনাকে দেওয়া হয়েছিল। কর ধরা নেই, আর কর সংখ্যাটিকে আরও খারাপ করে। এখানকার কিছুই কোনও অপারেটরের মাপ নয়।
ফলটি মন দিয়ে পড়ুন। 1.90-এ একটি নিরপেক্ষ কয়েন গড়ে প্রতি হাজারে পঞ্চাশ টাকা কেড়ে নেয়। বাজিটি দুর্ভাগ্যের শিকার নয়। এর দামই বসানো হারার জন্য।
হিসাব দুই: EV যখন শূন্যে দাঁড়ায়
ইনপুট। স্টেক ₹1,000। আপনার মত: ফলটি 40% ক্ষেত্রে ঘটে। দাম 2.50।
সূত্র। জিতলে লাভ = 1,000 × 1.50 = ₹1,500। EV = (0.40 × 1,500) − (0.60 × 1,000)।
ফল। EV = 600 − 600 = ₹0। বাজিটি গড়ে সমান-সমানে দাঁড়ায়।
ধারণা। 40% সম্ভাবনার ন্যায্য দাম 2.50, কারণ 1 ÷ 0.40 = 2.50। ফি-হীন মার্কেট সমান-সমানটুকুই দেয়, সেটিই ছাদ, লাভ নয়।
এবার দামটি একটু ছেঁটে নিন, বাস্তবের মার্কেট যেভাবে করে।
ইনপুট। সেই একই 40% মত। সেই একই ₹1,000 স্টেক। দাম কমে 2.35।
সূত্র। জিতলে লাভ = 1,000 × 1.35 = ₹1,350। EV = (0.40 × 1,350) − (0.60 × 1,000)।
ফল। EV = 540 − 600 = −₹60, অর্থাৎ স্টেকের −6.00%।
ধারণা। 2.50 থেকে 2.35-এ নামাটাই বিক্রেতার ফি, চোখে দেখার মতো রূপে। সম্ভাবনা নিয়ে আপনি ঠিকই ছিলেন, তবু value হারালেন।
এই পেজের শিক্ষা ওটাই। ঠিক হওয়াই যথেষ্ট নয়। ফির চেয়েও বেশি ব্যবধানে ঠিক হতে হবে।
টেবিলটি মত আর দামের কয়েকটি জুড়ি একসঙ্গে সাজিয়ে দেয়। পুরোটাই ₹1,000 স্টেকে, আর প্রতিটি সারি উপরের সূত্র দিয়েই কষা।
টেবিল 1. ₹1,000 বাজিতে আলাদা আলাদা দামে আর আলাদা সৎ আঁচে expected value
আপনার আঁচ | নেওয়া দাম | জিতলে লাভ | এক্সপেক্টেড ভ্যালু | স্টেকের কত অংশ |
|---|---|---|---|---|
50% | 1.80 | ₹800 | −₹100 | −10.00% |
50% | 1.90 | ₹900 | −₹50 | −5.00% |
50% | 2.00 | ₹1,000 | ₹0 | 0.00% |
50% | 2.10 | ₹1,100 | +₹50 | +5.00% |
40% | 2.35 | ₹1,350 | −₹60 | −6.00% |
40% | 2.50 | ₹1,500 | ₹0 | 0.00% |
40% | 2.60 | ₹1,600 | +₹40 | +4.00% |
60% | 1.80 | ₹800 | +₹80 | +8.00% |
ধনাত্মক সারিগুলি দেখুন। প্রতিটিতেই আপনার আঁচকে দামের চেয়ে স্পষ্ট ব্যবধানে এগিয়ে থাকতে হয়। তার দুটিতে আপনাকে 60% বা 40% সম্ভাবনা নিয়ে ঠিক হতে হয়, যেখানে মার্কেট দাম বসাতে ভুল করেছে।
অঙ্কটা নকশা করেই ঋণাত্মক কেন
মার্কেটের দামগুলি যোগ করলে 100%-এর বেশি হয়। 1.90-এ দুই দিক মানে প্রতিটি 52.63%, তাই বুক 105.26%, আর বাড়তি 5.26%-ই বিক্রেতার ফি, অর্থাৎ overround (Whelan, Estimating Expected Loss Rates in Betting Markets)।
ওই ফিটাকে EV সূত্রে ঢোকান, সেটি মাইনাস চিহ্ন হয়ে দেখা দেবে। স্টেকের বিপরীতে প্রত্যাশিত পেমেন্ট হল 1-কে বুক দিয়ে ভাগ, আর বুক 100%-এর উপরে হলেই সেটি 1-এর নিচে (Whelan)।
ইনপুট। এমন একটি মার্কেট, যেখানে দামটি একেবারে ঠিক। দাম 1.90, সত্যিকারের সম্ভাবনা implied 52.63%-এর সমান। স্টেক ₹1,000।
সূত্র। EV = (0.5263 × 900) − (0.4737 × 1,000)।
ফল। EV = 473.67 − 473.70, যা রাউন্ডিংয়ের ভিতরে শূন্য।
ধারণা। দাম বসানো একটি বাজি একমাত্র এভাবেই শূন্যে পৌঁছয়: আপনার মতকে দামের সঙ্গে হুবহু মিলতে হবে। বুক 105.26% থাকতে দুই দিকেরই দাম সত্যিকারের সম্ভাবনায় বসানো সম্ভব নয়, তাই অন্তত এক দিককে ঋণাত্মক হতেই হবে, আর বাস্তবে সাধারণত দুই দিকই হয়।
তাই ধনাত্মক EV-র বাজির জন্য দুটির একটি চাই। বিক্রেতার দাম বসানোর ভুল, নয়তো মার্কেটের চেয়ে ভালো তথ্য। শখের বাজিকরের কাছে দুটির কোনওটিই নেই, আর টাকা আসার সঙ্গে সঙ্গে দাম শুধরে যায়।
বিভিন্ন মার্কেটে ফিটা টাকায় কত, আছে আমাদের overround পেজে। দাম আসে কোথা থেকে, আছে অডস কীভাবে ঠিক হয় নিয়ে আমাদের পেজে।
একশো বাজি দেখতে কেমন
একটিমাত্র −₹50-র বাজি কিছুই নয় বলে মনে হয়। বারবার করুন, পাটিগণিত গলা চড়াতে শুরু করবে।
ইনপুট। 100টি বাজি। প্রতিটি ₹1,000। প্রতি বাজিতে EV −₹50।
সূত্র। মোট টার্নওভার = 100 × 1,000। মোট EV = 100 × (−50)।
ফল। টার্নওভার ₹100,000। প্রত্যাশিত ক্ষতি ₹5,000, অর্থাৎ যা লাগানো হয়েছে তার 5%।
ধারণা। প্রতিটি বাজিতে ফি এক ধরা হয়েছে, যা বরং আশাবাদী: ছোট মার্কেটে খরচ বেশি। বাস্তবের দৌড়ে ফল এই রেখার উপরে-নিচে দোলে। রেখাটি নিজে নড়ে না।
এবার নতুন টাকা না ঢেলে একই ব্যালান্স ঘুরিয়ে লাগান। প্রতি পাকে একই শতাংশ ছেঁটে নেওয়া হয়।
ইনপুট। ব্যাঙ্করোল ₹10,000। প্রতি বাজিতে ফি 5.26%। প্রতিবার গোটা ব্যালান্স লাগানো হচ্ছে।
সূত্র। বাকি ব্যালান্স = 10,000 × (1 − 0.0526)-এর উপর বাজির সংখ্যার ঘাত।
ফল। 10 বাজির পরে ₹5,826। 20 বাজির পরে ₹3,394। 50 বাজির পরে ₹671।
ধারণা। এটি শুধু গড় পথ। এতে কর ধরা নেই, আর কর জেতা টাকার উপর বসে Section 115BBJ-র অধীনে সরাসরি 30% হারে (আয়কর দফতর), ক্ষতি বসানোর কোনও সুযোগ ছাড়াই (আয়কর দফতর)।
ইন-প্লে বাজিকরের কাছে পঞ্চাশটি বাজি মানে একটি ব্যস্ত সন্ধে। ওই সংখ্যা কত দ্রুত ছুঁয়ে ফেলা যায়, দেখায় আমাদের ফ্যান্সি বেট পেজ।
সহজ কথায় বড় সংখ্যার সূত্র
একটি কয়েন দশবার ছুড়লে হয়তো সাতবার হেড পড়বে। দশ হাজারবার ছুড়লে হেডের ভাগ অর্ধেকের খুব কাছে গিয়ে বসবে।
ওটাই বড় সংখ্যার সূত্র। অনেক স্বাধীন পুনরাবৃত্তির গড় সত্যিকারের expected value-র দিকে সরে যায়, আর সংখ্যা যত বাড়ে তা তত আঁটসাঁট হয় (বড় সংখ্যার সূত্র নিয়ে Wikipedia)। চেনা উদাহরণ একটি ছক্কা: প্রত্যাশিত দান হল (1+2+3+4+5+6) ÷ 6 = 3.5, আর অনেকবার ফেলার গড় 3.5-এর কাছে পৌঁছয় (Wikipedia)।
এটি বেটিংয়ে বসালে বাজিকরের জন্য খবর খারাপ। সূত্রটি প্রতিশ্রুতি দেয় না যে আপনার ভাগ্য ফিরবে। সে প্রতিশ্রুতি দেয়, গড়ই জিতবে, আর ওই গড়ের গায়ে একটি মাইনাস চিহ্ন বসানো।
এখানে দ্বিতীয় একটি ফাঁদও আছে। ছোট নমুনা প্রতিনিধিত্ব করে না, আর সেগুলিকে প্রতিনিধিত্বমূলক ধরে নেওয়া একটি চেনা ভুল (gambler's fallacy নিয়ে Wikipedia)। একটি ভালো সপ্তাহ আপনার দক্ষতার কোনও প্রমাণ নয়।
হারা টাকা ফেরাতে গেলে অবস্থা আরও খারাপ হয় কেন
হারার পরে তাড়না জাগে আরও বড় বাজি ধরে সমান হয়ে যাওয়ার। অঙ্ক ওই পরিকল্পনাকে একটুও সায় দেয় না।
প্রতিটি বাজি নতুন একটি ঘটনা, আর তার expected value একই রকম ঋণাত্মক। স্টেক দ্বিগুণ করলে প্রত্যাশিত ক্ষতিও দ্বিগুণ হয়। আগেরটি ফিরে আসে না।
হার হলেই জয় "পাওনা" হয়ে যায়, এই বিশ্বাসের নাম gambler's fallacy। কোনও স্বাধীন ফল অনেকদিন আসেনি বলে তার সম্ভাবনা বাড়ে না, আর ছক্কার প্রতিটি দানই ছয়ে এক সম্ভাবনাতেই থাকে (Wikipedia)। একই ফল পরপর আসা খুবই সাধারণ ব্যাপার, আর টানা পাঁচবার হেড পড়ার সম্ভাবনা 32-এ 1, অর্থাৎ 3%-এর সামান্য বেশি (Wikipedia)।
ক্লিনিক্যাল গবেষণাতেও এর একটি নাম আছে, chasing। মানে, হারা টাকা ফিরে পেতে জুয়া চালিয়ে যাওয়া, আর একে সমস্যাজনক জুয়ার একটি মূল লক্ষণ ধরা হয়, যা এক বসাতেও দেখা যায়, দিনের পর দিনেও (chasing আচরণ নিয়ে পিয়ার-রিভিউড পর্যালোচনা)।
এর কিছু যদি চেনা ঠেকে, তাহলে পরের পড়া হিসেবে ঠিক জায়গা জুয়ার আসক্তির লক্ষণ নিয়ে আমাদের পেজ আর ভারতে জুয়ার ক্ষতিতে সাহায্যের তালিকা।
চার ধাপে অঙ্কটা নিজেই কষুন
দাম দেখার আগেই ফলটির জন্য নিজের সম্ভাবনা শতাংশে লিখে ফেলুন।
জিতলে লাভ বার করুন: স্টেক × (দাম − 1)।
দুটিকেই সূত্রে বসিয়ে টাকায় expected value বার করুন।
এই মাসে আপনি যতগুলি বাজি ধরবেন বলে ভাবছেন, সেই সংখ্যা দিয়ে গুণ করুন।
চতুর্থ ধাপটিই সবচেয়ে সৎ। ছোট একটি ঋণাত্মক সংখ্যাকে সেটি বদলে দেয় আপনি সত্যিই যা দেবেন, সেই অঙ্কে।
দুটি অভ্যাস এই কাজটিকে সত্যি করে তোলে। দাম দেখার আগেই নিজের সম্ভাবনা লিখে ফেলুন, যাতে দামটি আপনাকে টেনে নিতে না পারে। আর অঙ্কে সেই স্টেকটাই বসান, যা আপনি সত্যিই লাগান, ভদ্রগোছের কোনও উদাহরণ নয়।
এখানে ব্যবহার করা প্রতিটি শব্দ আছে আমাদের বেটিং গ্লসারিতে। পুরো সংগ্রহটি আছে গাইড হাবে, আর আইনি ছবিটি আছে PROG Act নিয়ে আমাদের ব্যাখ্যায়।
মানুষ যা জিজ্ঞেস করে
সাধারণ বাজিকরের expected value কি কখনও ধনাত্মক হতে পারে?
শুধু তখনই, যখন দামটি ভুল আর আপনি জানেন কেন। যেহেতু মার্কেটের দুই দিক যোগ করলে 100%-এর বেশি হয়, অন্তত এক দিকের value ঋণাত্মক হতেই হবে (Whelan), আর টাকা আসার সঙ্গে সঙ্গে দাম শুধরে যায়।
টানা কয়েকটা জিতলে কি বুঝব আমার পদ্ধতি কাজ করছে?
দামটাকেই কি নিজের সম্ভাবনা ধরে নেব?
না। তা করলে উত্তরটা দাঁড়াবে স্রেফ ফি। আগে নিজের আঁচ লিখুন, তারপর দামটি যা বোঝাচ্ছে তার সঙ্গে মিলিয়ে দেখুন।
স্টেক বাড়ালে কি expected value ভালো হয়?
না। শতাংশ একই থাকে, আর স্টেকের সঙ্গে টাকার ক্ষতি বাড়ে। স্টেক দ্বিগুণ করলে প্রত্যাশিত ক্ষতিও দ্বিগুণ।
Expected value-র হিসাবে কর কোথায় বসে?
অঙ্কের পরে, আর আপনার বিপক্ষে। জেতা টাকায় Section 115BBJ-র অধীনে সরাসরি 30% কর বসে (আয়কর দফতর), আর ক্ষতি বসানো যায় না (আয়কর দফতর)।
